2022-08-17  2022-09-01    2792 字  6 分钟

i.e. boolean-logic-and-logic-gates

嗨,我是 Carrie Anne,欢迎收看计算机科学速成课!

今天我们开始"抽象"(abstraction)的旅程!不用管底层细节,把精力用来构建更复杂的系统。

上集,我们谈了计算机最早是机电设备(electromechanical),一般用十进制(decimal)计数,比如用齿轮数来代表十进制, 再到晶体管计算机。

幸运的是,只用 开/关 两种状态也可以代表信息,这叫二进制,意思是"用两种状态表示",就像自行车有两个轮,双足动物有两条腿。你可能觉得两种状态不多,你是对的!但如果只需要表示 truefalse,两个值就够了。电路闭合,电流流过,代表 “真”;电路断开,无电流流过,代表"假"。二进制也可以写成 10 而不是 truefalse,只是不同的表达方式罢了。

我们下集(episode)会讲更多细节。

晶体管的确可以不只是开/关,还可以让不同大小的电流通过,一些早期电子计算机是三进制的,有 3 种状态,甚至五进制,5 种状态。问题是,状态越多,越难区分信号。如果手机快没电了或者附近有电噪音,因为有人在用微波炉(microwave),信号可能会混在一起。.. 而每秒百万次变化的晶体管会让这个问题变得更糟!所以我们把两种信号尽可能分开,只用"开"和"关"两种状态,可以尽可能减少这类问题。

计算机用二进制的另一个原因是,有一整个数学分支存在,专门处理"真"和"假"。它已经解决了所有法则和运算 - 叫"布尔代数"(Boolean Algebra)!

乔治·布尔(George Boole)是布尔二字的由来,是一位 19 世纪自学成才的英国数学家,他有兴趣用数学式子扩展亚里士多德基于哲学的逻辑方法,布尔用逻辑方程系统而正式的证明真理 (truth)。他在 1847 年的第一本书"逻辑的数学分析"中介绍过,在"常规"代数里 - 你在高中学的那种 - 变量的值是数字,可以进行加法或乘法之类的操作,但在布尔代数中,变量的值是 truefalse,能进行逻辑操作。

布尔代数中有三个基本操作:NOT, AND 和 OR 。这些操作非常有用,我们一个个来看:

NOT 操作把布尔值反转,把 true 进行 NOT 就会变成 false,反之亦然。我们可以根据 NOT 操作的输入和输出,做出这个表。

酷的地方是 - 用晶体管可以轻松实现这个逻辑。

上集说过,晶体管只是电控制的开关 - 有 3 根线:2 根电极和 1 根控制线。

控制线通电时,电流就可以从一个电极流到另一个电极,就像水龙头一样 - 打开水龙头,就有水流出来,关掉水龙头,就没水了。可以把控制线当做输入 ( input ),底部的电极当做输出(output),所以 1 个晶体管,有一个输入和一个输出。如果我们打开输入(input on) ,输出也会打开(output on),因为电流可以流过。如果关闭输入(input off),输出也会关闭(output off),因为电流无法通过。或者用布尔术语来说,输入为真,输出为真,输入为假,输出为假,我们也可以把这个做成"真值表"。

这个电路没什么意思,因为它没做什么事 - 输入和输出是一样的。

但我们可以稍加修改,实现 NOT 。

与其把下面那根线当做 输出,我们可以把 输出 放到上面。如果打开 输入,电流可以流过然后 “接地”,输出就没有电流,所以输出是 off 。如果用水来举例,就像家里的水都从一个大管子流走了,打开淋浴头一点水也没有。

如果输入是 on,输出是 off 。当输入是 off,电流没法接地,就流过了输出,所以输出是 on ;当输入是 off,电流没法接地,就流过了输出,所以输出是 on

如果输入是 off,输出是 on

和 NOT 操作表一样!太棒了!我们做了个有点用的电路!🎉

我们叫它 “NOT 门”,之所以叫 “门”,是因为它能控制电流的路径 。

“AND"操作有 2 个输入,1 个输出。如果 2 个输入都是 true,输出才是 true 。和上次一样,可以给"AND"做个表 。

为了实现 “AND 门”,我们需要 2 个晶体管连在一起,这样有 2 个输入和 1 个输出。如果只打开 A,不打开 B ,电流无法流到 output,所以输出是 false ;如果只打开 B,不打开 A ,也一样,电流无法流到 output ;只有 A 和 B 都打开了,output 才有电流 。

最后一个是 OR (前面讲了 NOT 和 AND)。

只要 2 个输入里,其中 1 个是 true,输出就是 true ,只有 2 个输入都是 falseOR 的结果才是 false

实现 “OR 门” 除了晶体管还要额外的线,不是串联起来,而是并联。然后左边这条线有电流输入,我们用"小拱门"代表 2 条线没连在一起,只是跨过而已,虽然看起来像连在一起。

如果 A 和 B 都是 off,电流无法流过,所以输出是 off ;如果只打开 A,电流可以流过,输出是 on ;如果只打开 B 也一样;只要 A OR B 是 on, 输出就是 on

好,现在 NOT 门,AND 门,OR 门 都搞定了。

我们可以进行一次抽象!

NOT 门的画法是三角形前面一个圆点,AND 门用 D 表示 ,OR 门用太空船表示 。“D 形状和太空船"不是标准叫法,只是我喜欢这样叫而已。我们可以用这种方法表示它们,构建更大的组件,就不会变得很复杂。

晶体管和电线依然在那里,我们只是用符号来代表而已。除了前面说的三个、N 另一个有用的布尔操作叫 “异或”,简称 XOR 。

XOR 就像普通 OR,但有一个区别:如果 2 个输入都是 true,XOR 输出 false 。想要 XOR 输出 true ,一个输入必须是 true,另一个必须是 false

就像你出去吃晚饭,你点的饭要么配沙拉,要么配汤 - 你不能两个都要!

用晶体管实现 XOR 门有点烧脑子,但我可以展示一下,怎么用前面提到的 3 种门来做 XOR 门。

我们有 2 个输入,A 和 B ,还有 1 个输出。我们先放一个 OR 门,因为 OR 和 XOR 的逻辑表很像。只有 1 个问题 - 当 A 和 B 都是 true 时 , OR 的输出和想要的 XOR 输出不一样。我们想要 false,XOR 超有用的,我们下次再说它。因为超有用,工程师给了它一个符号,一个 OR 门 + 一个笑脸。

重要的是,现在可以把 XOR 放入"工具箱"了。不用担心 XOR 具体用了几个门,这几个门又是怎么用晶体管拼的,或电子是怎么流过半导体的。

再次向上抽象。

工程师设计处理器(processors)时,很少在晶体管的层面上思考,而是用更大的组件,比如逻辑门,或者由逻辑门组成的更大组件。我们以后会讲,就算是专业程序员,也不用考虑逻辑是怎样在物理层面实现的。

我们从电信号开始,到现在第一次表示数据 - 真和假 - 开始有点"计算"的感觉了。

仅用这集讲的 逻辑门,我们可以判断复杂的语句 比如:[如果是 John Green] AND [下午 5 点后] OR [周末] AND [在比萨店附近],那么 “John 想要比萨” = 真

我都说饿了,下周见。