2022-08-25  2022-09-01    3172 字  7 分钟

i.e. Representing Numbers and Letters with Binary

嗨,我是 Carrie Anne,欢迎收看计算机科学速成课!

今天,我们讲计算机如何存储和表示数字,所以会有一些数学,不过别担心,你们的数学水平绝对够用了。

上集我们讲了,怎么用晶体管(transistors)做逻辑门(logic gates),逻辑门可以判断布尔语句,布尔代数只有两个值:TrueFalse

但如果只有两个值,我们怎么表达更多东西 ❓ 这就需要数学了!

上集提到,1 个二进制值可以代表 1 个数,我们可以把真和假 ,当做 1 和 0 。如果想表示更多东西,加位数就行了。和我们熟悉的十进制(decimal)一样,十进制只有 10 个数(0 到 9),要表示大于 9 的数,加位数就行了。

二进制也可以这样玩。

拿 263 举例,这个数字 “实际” 代表什么?2 个 100、6 个 10、3 个 1,加在一起,就是 263。注意每列有不同的乘数 - 100、10、1 ,每个乘数都比右边大十倍,因为每列有 10 个可能的数字(0 到 9),如果超过 9,要在下一列进 1 ,因此叫 “基于十的表示法” 或十进制。

二进制也一样,只不过是基于 2 而已。因为二进制只有两个可能的数, 1 和 0 ,意味着每个乘数必须是右侧乘数的两倍,就不是之前的 100、10、1 ,而是 4、2、1

拿二进制数 101 举例,意味着有 1 个 “4”、 0 个 “2 、1 个 “1”,加在一起,得到十进制的 5 。

为了表示更大的数字,二进制需要更多位数。拿二进制数 10110111 举例,我们可以用相同的方法转成十进制 - 1 x 128 ,0 x 64 ,1 x 32 ,1 x 16,0 x 8 ,1 x 4 ,1 x 2 ,1 x 1 ,加起来等于 183。

二进制数的计算也不难。

以十进制数 183 加 19 举例,首先 3 + 9,得到 12,然后位数记作 2,向前进 1,现在算 8+1+1=10,所以位数记作 0,再向前进 1,最后 1+1=2,位数记作 2,所以和是 202。

二进制也一样。

和之前一样,从个位开始,1+1=2,在二进制中也是如此,但二进制中没有 2,所以位数记作 0 ,进 1。就像十进制的例子一样,1+1,再加上进位的 1,等于 3,用二进制表示是 11。所以位数记作 1,再进 1,以此类推,最后得到这个数字,跟十进制 202 是一样的。

二进制中,一个 1 或 0 叫一"位”(bit)。

上个例子我们用了 8 位 , 8 位能表示的最小数是 0, 8 位都是 0,最大数是 255,8 位都是 1,能表示 256 个不同的值,2 的 8 次方。你可能听过 8 位机,8 位图像,8 位音乐,意思是计算机里大部分操作都是 8 位 8 位这样处理的。但 256 个值不算多,意味着 8 位游戏只能用 256 种颜色。

8 位是如此常见,以至于有专门的名字:字节(byte)❗

1 字节 = 8 位 
1 bytes = 8 bits

如果有 10 个字节,意味着有 80 位。你听过 千字节(KB)兆字节(MB)千兆字节(GB)等等。不同前缀代表不同数量级,就像 1 千克 = 1000 克,1 千字节 = 1000 字节,或 8000 位。Mega 是百万字节(MB), Giga 是十亿字节(GB)。如今你可能有 1 TB 的硬盘,8 万亿个 1 和 0。等等,我们有另一种计算方法 - 二进制里,1 千字节 = 2 的 10 次方 = 1024 字节。1000 也是千字节(KB)的正确单位,1000 和 1024 都对。

你可能听过 32 位 或 64 位计算机,你现在用的电脑几乎肯定是其中一种,意思是一块块处理数据,每块是 32 位或 64 位,这可是很多位。32 位能表示的最大数,是 43 亿左右 - 也就是 32 个 1,所以 Instagram 照片很清晰,它们有上百万种颜色,因为如今都用 32 位颜色。当然,不是所有数都是正数,比如我上大学时的银行账户 T_T ……

我们需要有方法表示正数(positive)和负数(negative),大部分计算机用第一位表示正负:1 是负,0 是正。用剩下 31 位来表示符号外的数值,能表示的数的范围大约是正 20 亿到负 20 亿。虽然是很大的数,但许多情况下还不够用,全球有 70 亿人口,美国国债近 20 万亿美元。所以 64 位数很有用,64 位能表达最大数大约是 9.2 × 10 ^ 18,希望美国国债在一段时间内不会超过这个数!

重要的是(我们之后的视频会深入讲),计算机必须给内存(memory)中每一个位置,做一个 “标记”,这个标记叫 “地址”(addresses), 目的是为了方便存取(store and retrieve)数据。如今硬盘已经增长到 GB 和 TB,上万亿个字节!内存地址也应该有 64 位。

除了负数和正数,计算机也要处理非整数(not whole numbers),比如 12.7 和 3.14,或"星历 43989.1" - 这叫 浮点数(floating point numbers)。因为小数点可以在数字间浮动,有好几种方法 表示浮点数,最常见的是 IEEE 754 标准,你以为只有历史学家取名很烂吗?它用类似科学计数法的方法,来存十进制值,例如,625.9 可以写成 0.6259 × 10 ^ 3 ,这里有两个重要的数:.6259 叫 “有效位数”(significand) , 3 是指数(exponent)。在 32 位浮点数中,第 1 位表示数的符号——正或负,接下来 8 位存指数,剩下 23 位存有效位数。

好了,聊够数了,但你的名字是字母(letters)组成的 !所以我们也要表示文字(text),与其用特殊方式来表示字母,计算机可以用数表示字母 - 最直接的方法是给字母编号:A 是 1,B 是 2,C 是 3,以此类推。

著名英国作家 弗朗西斯·培根(Francis Bacon),曾用 5 位序列 来编码英文的 26 个字母。在十六世纪传递机密信件,五位(bit)可以存 32 个可能值(2^5) - 这对 26 个字母够了,但不能表示 标点符号,数字和大小写字母。

ASCII,美国信息交换标准代码(the American Standard Code for Information Interchange),发明于 1963 年,ASCII 是 7 位代码,足够存 128 个不同值。范围扩大之后,可以表示大写字母,小写字母,数字 0 到 9, @ 这样的符号,以及标点符号(punctuation marks)。举例,小写字母 a 用数字 97 表示,大写字母 A 是 65,: (colon)是 58, ) 是 41。ASCII 甚至有特殊命令符号,比如换行符(newline),用来告诉计算机换行。在老计算机系统中,如果没换行符,文字会超出屏幕。因为 ASCII 是个很早的标准,所以它被广泛使用,让不同公司制作的计算机,能互相交换数据,这种通用交换信息的能力叫 “互操作性”。但有个限制:它是为英语设计的。幸运的是,一个字节有 8 位,而不是 7 位,128 到 255 的字符渐渐变得常用,这些字符以前是空的,是给各个国家自己 “保留使用的” 。在美国,这些额外的数字主要用于编码附加符号,比如数学符号,图形元素和常用的重音字符。另一方面,虽然拉丁字符被普遍使用,在俄罗斯,他们用这些额外的字符表示西里尔字符,而希腊电脑用希腊字母,等等。这些保留下来给每个国家自己安排的空位,对大部分国家都够用,问题是,如果在土耳其电脑上打开拉脱维亚语 写的电子邮件,会显示乱码。随着计算机在亚洲兴起,这种做法彻底失效了,中文和日文这样的语言有数千个字符,根本没办法用 8 位来表示所有字符!为了解决这个问题,每个国家都发明了多字节编码方案,但相互不兼容,日本人总是碰到编码问题,以至于专门有词来称呼:“mojibake” 意思是 乱码。

所以 Unicode 诞生了 - 统一所有编码的标准。设计于 1992 年,解决了不同国家不同标准的问题,Unicode 用一个统一编码方案,最常见的 Unicode 是 16 位的,有超过一百万个位置,对所有语言的每个字符都够了,100 多种字母表加起来占了 12 万个位置,还有位置放数学符号,甚至 Emoji 。就像 ASCII 用二进制来表示字母一样,其他格式 - 比如 MP3 或 GIF,用二进制编码声音/颜色,表示照片,电影,音乐。重要的是,这些标准归根到底是一长串位 。短信,这个 YouTube 视频,互联网上的每个网页,甚至操作系统,只不过是一长串 1 和 0 。

下周,我们会聊计算机怎么操作二进制,初尝"计算"的滋味。

感谢观看,下周见。