2022-08-25  2022-09-01    3267 字  7 分钟

i.e. How Computers Calculate-the ALU

嗨,我是 Carrie Anne,欢迎收看计算机科学速成课。

上集,我们谈了如何用二进制表示数字,比如二进制 00101010 是十进制的 42,表示和存储数字是计算机的重要功能。但真正的目标是计算(computation),有意义的处理数字,比如把两个数字相加,这些操作由计算机的 “算术逻辑单元 (Arithmetic and Logic Unit)“处理,但大家会简称:ALU。

ALU 是计算机的数学大脑,等你理解了 ALU 的设计和功能之后,你就理解了现代计算机的基石。

ALU 就是计算机里负责运算的组件,基本其他所有部件都用到了它,先来看看这个美人。这可能是最著名的 ALU,英特尔 74181 。1970 年发布时,它是第一个封装在单个芯片内的完整 ALU ,这在当时是惊人的工程壮举。

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> 英特尔 74181

今天我们用上周学的布尔逻辑门,做一个简单的 ALU 电路,功能和 74181 一样。然后接下来几集,用它从头做出一台电脑,所以会有点复杂,但我觉得你们搞的定。

ALU 有 2 个单元,1 个算术单元和 1 个逻辑单元。

算术单元

我们先讲"算术单元”,它负责计算机里的所有数字操作。比如加减法,它还做很多其他事情,比如给某个数字+1,这叫增量运算,我们之后会说。

今天的重点是一切的根本 - “把两个数字相加” 。

我们可以用单个晶体管一个个拼,把这个电路做出来,但很快就会复杂的难以理解,所以与其用晶体管,我们会像第 3 集 - 用更高层的抽象,用逻辑门来做。我们会用到 AND,OR,NOT 和 XOR 逻辑门,最简单的加法电路, 是拿 2 个 bit 加在一起(bit 是 0 或 1),有 2 个输入:A 和 B, 1 个输出:就是两个数字的和。需要注意的是:A, B, 输出 ,这 3 个都是单个 Bit ( 0 或 1 )。

输入只有四种可能:

前三个是 0 + 0 = 0 、 1 + 0 = 1 、0 + 1 = 1 。记住二进制里,1 与 true 相同,0 与 false 相同,这组输入和输出,和 XOR 门的逻辑完全一样,所以我们可以把 XOR 用作 1 位加法器(adder)。

但第四个输入组合,1+1 是个特例 1 + 1 = 2(显然),但二进制里没有 2,上集说过,二进制 1+1 的结果是 0,1 进到下一位,和是 10 (二进制)。

XOR 门的输出,只对了一部分, 1+1 输出 0 ,但我们需要一根额外的线代表 “进位”,只有输入是 1 和 1 时,进位才是 “true” 。因为算出来的结果用 1 个 bit 存不下,方便的是,我们刚好有个逻辑门能做这个事!没那么复杂 - 就两个逻辑门而已。

让我们抽象化。

把 “半加器” 封装成一个单独组件 - 两个输入 A 和 B 都是 1 位 ,两个输出 “总和” 与 “进位”,这进入了另一层抽象。

如果想处理超过 1+1 的运算,我们需要"全加器”,半加器输出了进位,意味着,我们算下一列的时候,还有之后的每一列,我们得加 3 个位在一起,并不是 2 个。

全加器复杂了一点点。

全加器表格,有 3 个输入:A, B, C (都是 1 个 bit),所以最大的可能是 1 + 1 + 1,“总和"1 “进位"1 ,所以要两条输出线: “总和"和"进位” 。

我们可以用 半加器 做 全加器,我们先用半加器将 A 和 B 相加,然后把 C 输入到第二个半加器,最后用一个 OR 门检查进位是不是 true,这样就做出了一个全加器!

我们可以再提升一层抽象,把全加器作为独立组件。全加器会把 A,B,C 三个输入加起来,输出 “总和” 和 “进位”。现在有了新组件,我们可以相加两个 8 位数字。

叫两个数字叫 A 和 B 好了,我们从 A 和 B 的第一位开始,叫 A0 和 B0 好了,现在不用处理任何进位,因为是第一次加法,所以我们可以用半加器,来加这 2 个数字,输出叫 sum0 ;现在加 A1 和 B1,因为 A0 和 B0 的结果有可能进位,所以这次要用全加器,除了 A1 和 B1,还要连上进位,输出叫 sum1 ;然后,把这个全加器的进位连到下个全加器的输入,处理 A2 和 B2;以此类推,把 8 个 bit 都搞定…… 注意每个进位是怎么连到下一个全加器的,所以叫 “8 位行波进位加法器” ,注意最后一个全加器有 “进位” 的输出。如果第 9 位有进位,代表着 2 个数字的和太大了,超过了 8 位,这叫 “溢出” (overflow)。一般来说 “溢出” 的意思是,两个数字的和太大了,超过了用来表示的位数,这会导致错误和不可预期的结果。

著名的例子是,吃豆人用 8 位存当前关卡数,如果你玩到了第 256 关( 8 位 bit 最大表示 255),ALU 会溢出,造成一连串错误和乱码(glitches),使得该关卡无法进行,这个 bug 成了厉害吃豆人玩家的代表。如果想避免溢出,我们可以加更多全加器,可以操作 16 或 32 位数字,让溢出更难发生,但代价是更多逻辑门,另外一个缺点是,每次进位都要一点时间,当然时间不久,因为电子移动的很快,但如今的量级是每秒几十亿次运算,所以会造成影响。所以,现代计算机用的加法电路有点不同,叫 “超前进位加法器”。它更快,做的事情是一样的 - 把二进制数相加。

ALU 的算术单元,也能做一些其他数学运算,一般支持这 8 个操作。

哪 8 个 ❓

就像加法器一样,这些操作也是由逻辑门构成的。有趣的是,你可能注意到没有乘法和除法。因为简单的 ALU 没有专门的电路来处理,而是把乘法用多次加法来实现。假设想算 12 x 5 ,这和把 “12” 加 5 次是一样的,所以要 5 次 ALU 操作来实现这个乘法。很多简单处理器(processors)都是这样做的,比如恒温器,电视遥控器和微波炉,慢是慢,但是搞的定。然而笔记本和手机有更好的处理器,有专门做乘法的算术单元,你可能猜到了,乘法电路比加法复杂 - 没什么魔法,只是更多逻辑门,所以便宜的处理器没有。

是的,只是逻辑门而已 ✔️

好了,我们现在讲 ALU 的另一半:逻辑单元。

逻辑单元

逻辑单元执行逻辑操作,比如之前讨论过的 AND,OR 和 NOT 操作,它也能做简单的数值测试,比如一个数字是不是负数。例如,这是检查 ALU 输出是否为 0 的电路,它用一堆 OR 门检查其中一位是否为 1,哪怕只有一个 Bit (位) 是 1,我们就知道那个数字肯定不是 0,然后用一个 NOT 门取反,所以只有输入的数字是 0,输出才为 1 。

以上就是 ALU 的一个高层次概括。

ALU

我们甚至从零做了几个主要组件,比如行波进位加法器(ripple adder),它们只是一大堆逻辑门巧妙的连在一起而已

让我们回到视频开始时的 ALU,英特尔 74181,和我们刚刚做的 8 位 ALU 不同,74181 只能处理 4 位输入。也就是说,你刚做了一个比英特尔 74181 还好的 ALU !

其实 差不多啦。我们虽然没有全部造出来,但你理解了整体概念。

74181 用了大概 70 个逻辑门,但不能执行乘除。但它向小型化迈出了一大步,让计算机可以更强大更便宜。4 位 ALU 已经要很多逻辑门了,但我们的 8 位 ALU 会需要数百个逻辑门。工程师不想在用 ALU 时去想那些事情,所以想了一个特殊符号来代表它,看起来像一个大 “V” 。

又一层抽象!

我们的 8 位 ALU 有两个输入,A 和 B,都是 8 位 (bits)。

我们还需要告诉 ALU 执行什么操作 ,例如加法或减法,所以我们用 4 位的操作代码。我们之后的视频会再细说。简言之,“1000"可能代表加法命令,“1100"代表减法命令,操作代码告诉 ALU 执行什么操作,输出结果是 8 位的。ALU 还会输出一堆标志(Flag),“标志"是 1 位的,代表特定状态。比如相减两个数字,结果为 0 ,我们的零测试电路(前面做的)会将 零标志 设为 True(1),如果想知道两个数字是否相等,这个非常有用。如果想知道: A 是否小于 B,可以用 ALU 来算 A 减 B,看 负标志 是否为 true 。如果是 true,我们就知道 A 小于 B 。最后,还有一条线连到加法器的进位,如果有溢出,我们就知道,这叫 溢出标志

高级 ALU 有更多标志,但这 3 个标志是 ALU 普遍用的。其实,我们之后的视频会用到它们。

现在你知道了,计算机是怎样在没有齿轮或杠杆的情况下进行运算。

接下来两集,我们会用 ALU 做 CPU ,但在此之前,计算机需要一些 “记忆” !

我们下周会讲。